适应系数（二）之如何计算

有关适应系数的研究，更多是关注切向动量适应系数以及能量适应系数，而针对法向动量适应系数的研究则相对较少。不过总的来说，如何计算适应系数已经有了大量的文献可供参考。

切向动量适应系数

切向动量适应系数，英文为 tangential momentum accommodation coefficient，简写为 TMAC。TMAC 在各文献中的算法基本是统一的，定义为入射气体实际动量变化量与入射气体与壁面达到热力学平衡所需的变化量之比，如式 (1)：

(1)
$$ \begin{equation} \sigma_{t}=\frac{\overrightarrow{p_{t i}}-\overrightarrow{p_{t r}}}{\overrightarrow{p_{t i}}-\overrightarrow{p_{t w}}} \end{equation} $$

其中，$t$ 表示所有物理量都是入射速度的切向方向，$i$ 表示入射，$r$ 表示反射，$p$ 为气体分子平均动量，$w$ 是能够与壁面热力学平衡的气体的平均量，或者说气体分子漫反射的平均量。假如壁面沿切向有 $u_{w}$ 的速度，则有

$$ p_{t w}=m_{g} u_{w} $$

否则 $p_{t w}=0$。

能量适应系数

能量适应系数英文写作 energy accommodation coefficient，简写为 EAC。有些时候也被称为热适应系数，英文为 thermal accommodation coefficient，简写为 TAC。与法向动量适应系数相比，能量适应系数的计算方法基本是毫无争议的。

这里仅针对单原子气体和壁面之间的相互作用，只涉及到气体分子的平动能适应。能量适应系数定义为：

(2)
$$ \begin{equation} \alpha_{E}=\frac{E_{i}-E_{r}}{E_{i}-E_{w}} \end{equation} $$

如果是通过实验获得的能量适应系数，也可以使用以下定义方式：

(3)
$$ \begin{equation} \alpha_{E}=\frac{T_{i}-T_{r}}{T_{i}-T_{w}} \end{equation} $$

二者实质上是等价的。其中$i$、$r$、$w$ 依然同 TMAC 中的定义。 $T$ 表示气体或壁面的温度，$E$ 表示气体原子平动能的均值，$E_{w}$ 在二维和三维模型中分别为：

$$ E_{w 二维}=\frac{3}{2} k_{B} T_{w} $$

$$ E_{w 三维}=2 k_{B} T_{w} $$

法向动量适应系数

法向动量适应系数，英文为 normal momentum accommodation coefficient，简写为 NMAC。在不同的文献中有着不同的定义 <sup>[1]</sup>，比较常见的有以下四种：

(4)
$$ \begin{equation} \sigma_{n}=\frac{\overrightarrow{p_{n i}}-\overrightarrow{p_{n r}}}{\overrightarrow{p_{n i}}-\overrightarrow{p_{n w}}}=\frac{\left|p_{n i}\right|+\left|p_{n r}\right|}{\left|p_{n i}\right|+\left|p_{n w}\right|} \end{equation} $$
(5)
$$ \begin{equation} \sigma_{n}=\frac{\left|p_{n i}\right|-\left|p_{n r}\right|}{\left|p_{n i}\right|-\left|p_{n w}\right|}=\frac{\overrightarrow{p_{n i}}+\overrightarrow{p_{n r}}}{\overrightarrow{p_{n i}}+\overrightarrow{p_{n w}}} \end{equation} $$
(6)
$$ \begin{equation} \sigma_{n}=\frac{\left|p_{n i}\right|-\left|p_{n r}\right|}{\left|p_{n i}\right|}=\frac{\overrightarrow{p_{n i}}+\overrightarrow{p_{n r}}}{\overrightarrow{p_{n i}}} \end{equation} $$
(7)
$$ \begin{equation} \sigma_{n}=\frac{\overrightarrow{p_{n i}}-\overrightarrow{p_{n r}}}{\overrightarrow{p_{n i}}}=\frac{\left|p_{n i}\right|+\left|p_{n r}\right|}{\left|p_{n i}\right|} \end{equation} $$

其中，$n$ 表示所有物理量都是入射速度的法向方向，$i$、$r$、$p$、$w$ 同 TMAC 中的定义。假如壁面温度为 $T_{w}$，则有

$$ p_{n w}=\sqrt{\frac{m_{g} \pi k_{B} T_{w}}{2}} $$

这四种定义都可以在一定程度上衡量气体分子与壁面相互作用后法向动量的变化程度。相比于 (4) (5) 两式，(6) (7) 只计算了入射反射相对的动量变化，而没有考虑到相对于壁面的适应，显然 (6) (7) 的定义是不太全面的。

(4) (5) 两种 NMAC 的定义方式则一直被人频繁使用，大致翻看近几年研究 NMAC 的期刊文章，其中文献 [2-7] 都选择了式 (4) 进行计算，而文献 [9-16] 都选择了式 (5) 进行计算，单从使用频率上来说算是不相上下。

式 (4) 的定义是最早提出的，详见 1979 年的文献 [8] 。由于 $\overrightarrow{p_{n i}}$ 与 $\overrightarrow{p_{n w}}$ 方向必然相反，式中分母必定大于 0，如此可以避免 NMAC 的计算出现问题。这种定义下，NMAC 的值始终在 1 上下，不可能等于 0。但还是有部分研究者选择使用式 (5)。这种算法在 1998 年的文献 [17] 中被指出，在某些特定的条件下可能会遭遇分母为 0 的情况。随着入射角的增大，式 (4) 的分子首先变为负值，而后分母也转变为负值，NMAC 可能分布在负值跨越到 1 以上的区间内，先下降为负，后跨过奇点剧烈变为正值。

令人不解的是，众多选择用式 (5)，也就是对动量取了绝对值的文献，都引用了文献 [17]。然而这篇文献似乎专门指出了式 (4) 的不足，并为了解决 NMAC 受到入射角的影响表现出的奇异性，提出一种随入射角变化的 reduced force coefficients。文献 [17] 同时指出，法向动量适应系数本就会受入射角影响而变化，并介绍了 scalar momentum accommodation coefficient 适应系数的存在，后者的定义中对动量都取了标量，完全不考虑切向法向这些分量，是消除入射角依赖的一种简化选择。

综上，选择式 (4) 似乎是更好的方式，并且式 (4) 与计算 TMAC 的式 (1) 形式上非常统一，使用起来也更有物理的美感。事实上，式 (5) 对动量取了绝对值得到的 NMAC，在物理意义上和法向能量适应系数 NEAC 是相近的。

其他适应系数的定义

一些文献中对能量适应系数同样进行了法向与切向的划分，还有一些文献并不是将适应系数分为法向与切向，而是分作 x、y、z 三个方向。但是法向与切向的划分会比 x、y、z 方向的分量更容易应用于现有的气固相互作用模型，例如 CLL 模型。而在这其中，切向动量适应系数及能量适应系数，又是被建立各种模型并进行各项研究时使用最广泛的系数，同样也是在查找文献时能获得信息最丰富的两个选择。